Sử Dụng Phân Tích Nhân Tử Giải Hệ Phương Trình Chứa Căn

Căn thức (căn bậc 2, căn bậc 3) là nội dung kỹ năng và kiến thức mà những em học tập ở ngay lập tức chương 1 đại số lớp 9, phần bài tập về căn thức cũng thường xuyên xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT.

Bạn đang xem: Sử dụng phân tích nhân tử giải hệ phương trình chứa căn

Có nhiều dạng bài tập về căn thức như: rút gọn gàng biểu thức, tính giá trị của biểu thức, giải phương trình, hệ phương trình,... Tuy nhiên, trong bài viết này bọn họ tập trung tìm hiểu cách giải phương trình chứa dấu căn, qua đó vận dụng giải một vài bài tập về phương trình đựng căn thức nhằm rèn luyện năng lực giải toán.

I. Kiến thức cần nhớ lúc giải phương trình đựng dấu căn

• 

• 

• 

• 

• 

 với e ≥ 0 là hằng số

i) trường hợp: 

 hoặc  thì:

+ cách 1: Tìm đk của x để f(x) ≥ 0

+ bước 2: Bình phương 2 vế phương trình nhằm khử căn.

+ bước 3: Giải phương trình để tìm nghiệm x thỏa mãn điều kiện

* lấy một ví dụ 1 (Bài 25 trang 16 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x?

a) b) 

c) d)

° Lời giải:

a) (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, khi ấy bình phương 2 vế ta có:

 

- Ta thấy x = 4 thỏa đk nên pt có nghiệm x = 4.

b)  (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, lúc ấy bình phương 2 vế ta có:

 

- Ta thấy x = 5/4 thỏa đk nên pt tất cả nghiệm x = 5/4.

c) (*)

- Điều kiện: x - 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1; khi ấy ta bao gồm (ở bày này ta rất có thể rút gọn gàng hệ số trước lúc bình phương 2 vế):

 

 

 

- Ta thấy x = 50 thỏa điều kiện nên pt tất cả nghiệm x = 50.

d) (*)

- bởi vì (1 - x)2 ≥ 0 ∀x nên pt xác minh với đầy đủ giá trị của x.

 

→ Vậy phương trình có 2 nghiệm x = -2 hoặc x = 4

* lấy ví dụ 2: Giải những phương trình sau:

a)  b) 

° Lời giải:

a)  (*)

- Điều kiện: 

- lúc ấy bình phương 2 vế ta được:

 

- Đối chiếu đk (x ≥ 3/2) ta thấy x = một nửa không thỏa đk này, cần ta KHÔNG thừa nhận nghiệm này. Tóm lại pt vô nghiệm.

ii) trường hợp:  (*) thì ta nên kiểm tra biểu thức f(x).

+) ví như f(x) = ax2 + bx + c = (Ax ± B)2 có nghĩa là có dạng hằng đẳng thức thì KHAI CĂN, tức là:

 

+) Nếu  không tất cả dạng hằng đẳng thức thì ta thực hiện các bước sau:

- bước 1: Điều kiện f(x) ≥ 0

- cách 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn thức

- cách 3: Giải phương trình bậc 2 (bằng phương pháp phân tích thành nhân tử đem đến pt tích).

* lấy ví dụ 1: Giải phương trình sau:

 (*)

° Lời giải:

- Vì: 2x2 - 8x + 8 = 2(x2 - 4x + 4) = 2(x - 2)2 phải ta có:

 

 

 

* ví dụ 2: Giải phương trình sau: 

 (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: x2 - 4x + 6 = x2 - 4x + 4 + 2 = (x - 2)2 + 2 không tồn tại dạng (Ax ± B)2 nên ta tiến hành như sau:

- Điều kiện: x2 - 4x + 6 ≥ 0 ⇔ (x - 2)2 + 2 ≥ 0 ∀x yêu cầu biểu thức xác định với các giá trị của x.

- Bình phương 2 vế phương trình ta được:

(x - 2)2 + 2 = 11 ⇔ (x - 2)2 = 9 

- Kết luận: Phương trình tất cả 2 nghiệm x = -1 và x = 5.

2. Giải phương trình đựng dấu căn dạng: 

* phương thức giải:

- bước 1: Viết đk của phương trình: 

- bước 2: thừa nhận dạng từng loại tương ứng với các cách giải sau:

 ¤ một số loại 1: ví như f(x) bao gồm dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 thì khai căn mang lại phương trình trị hoàn hảo nhất để giải.

 ¤ loại 2: ví như f(x) = Ax ± B với g(x) = Ex ± D thì cần sử dụng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ nhiều loại 3: trường hợp f(x) = Ax2 + Bx + C và g(x) = Ex ± D thì cần sử dụng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ nhiều loại 4: giả dụ f(x) = Ax2 + Bx + C với g(x) = Ex2 + Dx + F thì thử đối chiếu f(x) cùng g(x) thành nhân tử, giả dụ chúng có nhân tử tầm thường thì đặt nhân tử chung đem đến phương trình tích.

- bước 3: soát sổ nghiệm tìm được có thỏa mãn điều khiếu nại không tiếp đến kết luận nghiệm của phương trình.

* lấy ví dụ như 1: Giải phương trình sau:

° Lời giải:

- Ta có:  

 

 

- Vậy phương trình vô nghiệm

* lấy ví dụ 2: Giải phương trình sau:  (*)

° Lời giải:

- Ta có: 

 

- Vậy phương trình có vô số nghiệm x ≤ 3.

* lấy ví dụ như 3: Giải phương trình sau:

 

° Lời giải:

- Điều kiện: 

- Bình phương 2 vế ta được:

 2x - 3 = (x - 1)2 ⇔ 2x - 3 = x2 - 2x + 1

 ⇔ x2 - 4x + 4 = 0 ⇔ (x - 2)2 = 0 ⇔ x = 2.

Xem thêm: Tìm Việc Làm Thêm Buổi Sáng Tại Hà Nội Lương Cao 2021, Việc Làm Thêm Quận Hà Đông

- Đối chiếu với đk ta thấy x = 2 thỏa đk nên phương trình thừa nhận nghiệm này.

- Phương trình gồm nghiệm x = 2.

* ví dụ 4: Giải phương trình sau:

 (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: f(x) = x2 - 5x - 6 không có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 (và vế buộc phải là dạng hàm bậc 1) bắt buộc để khử căn ta dùng phương pháp bình phương 2 vế.

- Điều kiện: 

 khi kia ta bình phương 2 vế được:

- khám nghiệm x = -10 có vừa lòng điều khiếu nại không bằng phương pháp thay quý hiếm này vào các biểu thức điều kiện thấy ko thỏa

→ Vậy phương trình vô nghiệm.

3. Giải phương trình cất dấu căn dạng: 

 

* Để giải phương trình dạng này ta thực hiện quá trình sau:

- cách 1: Nếu f(x) và h(x) gồm chứa căn thì phải có điều kiện biểu thức trong căn ≥ 0.

- bước 2: Khử căn thức gửi phương trình về dạng pt trị tuyệt đối: |f(x)| ± |h(x)| = g(x).

- bước 3: Xét dấu trị tuyệt đối (khử trị giỏi đối) nhằm giải phương trình.

* lấy ví dụ 1: Giải phương trình: 

 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0.

- khía cạnh khác, ta thấy: 

 và  nên ta có:

 

 (**)

- Ta xét những trường hợp nhằm phá vệt trị giỏi đối:

+) TH1: Nếu 

, ta có:

 

⇒ Phương trình gồm vô số nghiệm x ≥ 9.

+) TH2: Nếu

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 1

- thừa nhận thấy: 

- Đến phía trên xét các trường hòa hợp giải tương tự ví dụ 1 làm việc trên.

4. Giải pháp giải một số phương trình chứa căn khác.

i) phương pháp đặt ẩn phụ nhằm giải phương trình đựng dấu căn.

* lấy một ví dụ 1: Giải phương trình sau: 

 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0

 Đặt

 khi đó ta bao gồm pt (*) trở thành:

 

- cả 2 nghiệm t đông đảo thỏa đk nên ta có:

 

 

(Cách giải pt bậc 2 một ẩn những em đã học sinh hoạt nội dung bài xích chương sau).

* ví dụ 2: Giải phương trình sau: 

 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: 

 Đặt 

, khi ấy pt(*) trở thành:

 

- Ta thấy pt(**) có dạng làm việc mục 2) nhiều loại 3; với điều kiện 5 - t ≥ 0 ⇔ t ≤ 5; ta bình phương 2 vế (**) được:

 t2 + 5 = (5 - t)2 ⇔ t2 + 5 = t2 - 10t + 25 ⇔ 10t = 20 ⇔ t= 2

- với t = 2 thỏa điều kiện 0≤ t ≤ 5 buộc phải ta có:

→ Phương trình tất cả nghiệm x = 6.

* lấy ví dụ như 3: Giải phương trình sau:

 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x2 - 2x - 3 ≥ 0. Lúc đó ta có:

 Đặt 

 khi kia pt(**) trở thành:

 

- Đối chiếu điều kiện thì t = -5 các loại và t = 2 nhận.

 Với t = 2 ⇒ x2 - 2x - 3 = 4 ⇔ x2 - 2x - 7 = 0 ⇔ (x2 - 2x + 1) - 8 = 0.

 

- đánh giá thấy 2 nghiệm x trên thỏa điều kiện nên pt bao gồm 2 nghiệm. X = 1 ± 2√2.

ii) phương pháp đánh giá biểu thức dưới lốt căn (lớn hơn hoặc nhỏ hơn 1 hằng số) nhằm giải phương trình đựng căn thức.

- Áp dụng cùng với phương trình đựng căn thức dạng: 

 (với c,d>0 và c+d=e)

- PT có thể cho tức thì dạng này hoặc tất cả thể tách một thông số nào đó để có 2; 2 hay 2;