Bài tập phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có lời giải

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số con đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng cùng PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-MY

1. Định nghĩa:

Phương trình vi phân tuyến tính cấp một là phương trình bao gồm dạng:

(1) (hay )

trong kia p(x), q(x) là đông đảo hàm số liên tục, cho trước.

Bạn đang xem: Bài tập phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có lời giải

Nếu q(x) ≡ 0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân con đường tính cung cấp 1 thuần nhất.

Nếu q(x) ≠0, thì (1) được call là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.

2. Cách giải:

2.1 bí quyết 1: phương pháp thừa số tích phân:

Nhân 2 vế của (1) với thừa số

Ta được:

(*)

ta chú ý vế trái của phương trình đang thấy biểu thức sống vế trái đó là đạo hàm của tích số

. Vậy ta viết lại phương trình (*) như sau:

Lấy tích phân nhị vế ta được:

.

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng:

" class="latex" />

Lưu ý: hàm p(x) là hệ số của y trong trường hợp hệ số của y’ bởi 1.

Ví dụ: Giải phương trình

Nhân 2 vế của phương trình với quá số

.

Xem thêm:

Ta đươc:

Hay:

Lấy tích phân 2 vế ta được:

Vậy nghiệm bao quát của phương trình là:

2.2 giải pháp 2: phương thức Bernoulli (pp tìm kiếm nghiệm bên dưới dạng tích)

Từ cách thứ nhất, ta nhận ra nghiệm của phương trình bao gồm dạng tích của nhị hàm số. Do vậy, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình bên dưới dạng tích:

Ta có:

Thế vào phương trình ta có:

Hay:

(*)

Phương trình (*) gồm tới 4 thông số không biết là u, v, u’ , v’ bắt buộc không thể giải kiếm tìm u, v bất kỳ. Để tra cứu u, v thỏa mãn phương trình (*), ta yêu cầu chọn u, v làm sao để cho triệt tiêu đi 1 hàm chưa biết.

Muốn vậy, ta lựa chọn u(x) làm sao để cho

(**)

Ta dễ dàng tìm được hàm u(x) thỏa (**) vị (**) chính là phương trình tách biến. Lúc đó:

Chọn C = 1 ta có:

Như vậy ta kiếm được hàm u(x) buộc phải từ (*) ta sẽ có:

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:

" class="latex" />

2.3 cách 3: phương thức Larrange (pp thay đổi thiên hằng số)

Từ bí quyết 2 ta thấy nghiệm phương trình bao gồm dạng

cùng với u(x) là nghiệm phương trình (**) – đây là phương trình vi phân tuyến đường tính thuần nhất cung cấp 1.

Do vậy, giải phương trình vi phân đường tính thuần nhất cấp 1 ta tìm kiếm được:

Mà phương pháp nghiệm tổng quát của phương trình (1) lại là:

chỉ sai khác so với u(x) ở phần thế hằng số C bởi hàm bắt buộc tìm v(x).

Do vậy, ta chỉ việc tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, sau đó thay hằng số C bởi hàm nên tìm v(x) đang giải được bài toán. Vậy:

Bước 1: giải phương trình tuyến tính thuần nhất cung cấp 1 links với phương trình (1):

Nghiệm bao quát của phương trình thuần nhất gồm dạng:

Bước 2: nghiệm tổng thể của phương trình đường tính không thuần độc nhất vô nhị (1) bao gồm dạng:

Ta có:

Thế vào phương trình ta có:

Suy ra:

. Trường đoản cú đó tìm kiếm được v(x).

Nhận xét:

Trong 3 giải pháp thì phương pháp thứ 3 là cách mà ta chưa phải nhớ công thức như biện pháp 1 và giải pháp 2. Bên cạnh đó ở giải pháp 3, trong cách 2 khi cố kỉnh vào phương trình để tìm hàm v(x), ta luôn luôn luôn khử được hồ hết gì tương quan đến v(x) và chỉ với lại v"(x). Bởi đó, nếu khi thế vào mà lại ta không triệt tiêu được v(x) thì nghĩa là hoặc ta nỗ lực sai, hoặc ở cách 1 ta đang giải sai. Điều này sẽ giúp các bạn dễ dàng kiểm tra quá trình giải của bản thân mình và kịp lúc phát hiện nay sai sót.