Bài tập phương trình lượng giác lớp 11 có lời giải, phương pháp giải phương trình lượng giác lớp 11

Các dạng toán phương trình lượng giác, phương thức giải và bài bác tập từ bỏ cơ phiên bản đến nâng cao - toán lớp 11

Sau khi làm cho quen với những hàm lượng giác thì các dạng bài xích tập về phương trình lượng giác chính là nội dung tiếp sau mà những em vẫn học trong công tác toán lớp 11.

Bạn đang xem: Bài tập phương trình lượng giác lớp 11 có lời giải, phương pháp giải phương trình lượng giác lớp 11

Vậy phương trình lượng giác có những dạng toán nào, phương thức giải ra sao? bọn họ cùng khám phá qua nội dung bài viết này, đồng thời vận dụng các phương pháp giải này để triển khai các bài tập tự cơ bạn dạng đến nâng cao về phương trình lượng giác.

I. Triết lý về Phương trình lượng giác

1. Phương trình sinx = a. (1)

° |a| > 1: Phương trình (1) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là 1 trong những cung thỏa sinα = a, lúc đó phương trình (1) có những nghiệm là:

 x = α + k2π, ()

 và x = π - α + k2π, ()

- Nếu α thỏa mãn nhu cầu điều kiện 

 và sinα = a thì ta viết α = arcsina. Khi đó những nghiệm của phương trình (1) là:

 x = arcsina + k2π, ()

 và x = π - arcsina + k2π, ()

- Phương trình sinx = sinβ0 có những nghiệm là:

 x = β0 + k3600, ()

 và x = 1800 - β0 + k3600, ()

2. Phương trình cosx = a. (2)

° |a| > 1: Phương trình (2) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là một trong những cung thỏa cosα = a, khi ấy phương trình (2) có các nghiệm là:

 x = ±α + k2π, ()

- Nếu α thỏa mãn điều kiện 0 ≤ α ≤ π và cosα = a thì ta viết α = arccosa. Lúc đó các nghiệm của phương trình (2) là:

 x = ±arccosa + k2π, ()

- Phương trình cosx = cosβ0 có những nghiệm là:

 x = ±β0 + k3600, ()

3. Phương trình tanx = a. (3)

- Tập xác định, hay điều kiện của phương trình (3) là: 

- Nếu α thỏa mãn nhu cầu điều kiện

- Nếu α thỏa mãn điều khiếu nại

II. Các dạng toán về Phương trình lượng giác và phương pháp giải

° Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng những công thức nghiệm tương xứng với mỗi phương trình.

* lấy ví dụ như 1 (Bài 1 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Giải các phương trình sau:

a) b)

b)

d)

* giải mã bài 1 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

a)  

 

b) 

 

 

c) 

 

 

 

d)

 

 

 

* lấy ví dụ 2: Giải những phương trình sau:

 a)

 b)

 c)

 d)

° Lời giải:

a) 

 

 

b) 

 

  

c) 

 

 

d) 

 

 

° Dạng 2: Giải một vài phương trình lượng giác đưa được về dạng PT lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng các công thức biến đổi để đưa về phương trình lượng giác đã đến về phương trình cơ bản như Dạng 1.

* ví dụ như 1: Giải các phương trình sau:

a) 

b) 

c) 

d) 

° Lời giải:

a)

 

 

 

+ Với 

  hoặc 

+ cùng với

  hoặc 

b) 

 

 

 

c)

 

 

 

 

 

 

d)

 

 

 

 hoặc 

 

* lưu ý: Bài toán trên áp dụng công thức:

 

 

* lấy ví dụ như 2: Giải những phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

 

 

 

 

 hoặc  với 

b)

 

 

 

 

 

 

 hoặc  với 

* giữ ý: bài xích toán vận dụng công thức chuyển đổi tích thành tổng:

 

 

 

* lấy ví dụ như 3: Giải các phương trình sau:

a)1 + 2cosx + cos2x = 0

b)cosx + cos2x + cos3x = 0

c)sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0

d)sin2x + sin22x = sin23x

° Lời giải:

a)

 

 

 

 

b)

 

 

 

 

c)

 

 

 

  hoặc 

  hoặc 

 

 hoặc  hoặc 

 

 hoặc  hoặc  với 

d)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 hoặc  hoặc 

* lưu giữ ý: Bài toán trên có vận dụng công thức biến đổi tổng thành tích và bí quyết nhân đôi:

 

 

 

 

 

 

 

° Dạng 3: Phương trình hàng đầu có một hàm số lượng giác

* Phương pháp

- Đưa về dạng phương trình cơ bản, ví dụ: 

* lấy ví dụ như 1: Giải các phương trình sau:

a) 

b) 

° Lời giải:

a)  

 

 

+ Với 

+ Với 

b)

 

 

 

 

 hoặc 

+ Với 

 

+ Với 

: vô nghiệm.

° Dạng 4: Phương trình bậc hai có một hàm con số giác

* Phương pháp

♦ Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai so với t, ví dụ:

 + Giải phương trình: asin2x + bsinx + c = 0;

 + Đặt t=sinx (-1≤t≤1), ta gồm phương trình at2 + bt + c = 0.

* giữ ý: Khi đặt t=sinx (hoặc t=cosx) thì phải có điều kiện: -1≤t≤1

* ví dụ 1: Giải những phương trình sau

a) 

b) 

° Lời giải:

a) 

- Đặt 

 ta có: 2t2 - 3t + 1 = 0

 ⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.

+ cùng với t = 1: sinx = 1 

+ với t=1/2: 

 

 

 hoặc 

b) 

 

+ Đặt 

 ta có: -4t2 + 4t + 3 = 0

 ⇔ t = 3/2 hoặc t = -1/2.

Xem thêm:

+ t = 3/2 >1 buộc phải loại

+ 

 

* Chú ý: Đối với phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0, (a,b,c≠0). Phương thức giải như sau:

 - Ta có: cosx = 0 chưa hẳn là nghiệm của phương trình bởi vì a≠0,

 Chia 2 vế mang đến cos2x, ta có:atan2x + btanx + c = 0 (được PT bậc 2 cùng với tanx)

 - nếu phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d thì ta vậy d = d.sin2x + d.cos2x, và rút gọn mang lại dạng trên.

° Dạng 5: Phương trình dạng: asinx + bcosx = c (a,b≠0).

* Phương pháp

◊ cách 1: Chia nhị vế phương trình cho , ta được:

 

 - Nếu  thì phương trình vô nghiệm

 - Nếu  thì đặt 

 (hoặc )

- Đưa PT về dạng:  (hoặc ).

 ◊ phương pháp 2: Sử dụng bí quyết sinx với cosx theo ;

 

 - Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 đối với t.

* lưu giữ ý: PT: asinx + bcosx = c, (a≠0,b≠0) có nghiệm lúc c2 ≤ a2 + b2

• Dạng tổng quát của PT là:asin + bcos = c, (a≠0,b≠0).

* Ví dụ: Giải những phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

+ Ta có: 

 khi đó:

  

+ Đặt 

 ta có: cosφ.sinx + sinφ.cosx = 1.

 

  

b) 

 

 

 

 

 hoặc 

 

 hoặc 

* lưu lại ý: bài toán áp dụng công thức:

 

 

 

° Dạng 6: Phương trình đối xứng với sinx và cosx

 a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b≠0).

* Phương pháp

- Đặt t = sinx + cosx, lúc đó:  thay vào phương trình ta được:

 bt2 + 2at + 2c - b = 0 (*)

- lưu ý: 

 nên điều kiện của t là: 

- cho nên vì thế sau khi kiếm được nghiệm của PT (*) bắt buộc kiểm tra (đối chiếu) lại điều kiện của t.

- Phương trình dạng: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 chưa phải là PT dạng đối xứng cơ mà cũng hoàn toàn có thể giải bằng cách tương tự:

 Đặt t = sinx - cosx;  

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

° Lời giải:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

+ Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   thay vào phương trình ta được:

 

 ⇔ 2t2 - 2t - 1 = 0

  hoặc 

+ Với  

 

 

 

+ Tương tự, với 

 b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

 

 

- Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   thay vào phương trình ta được:

 

 

 

+ cùng với t=1 

 

 

 hoặc 

 hoặc 

+ Với 

: loại

III. Bài bác tập về các dạng toán Phương trình lượng giác

* Bài 2 (trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Với mọi giá trị làm sao của x thì giá chỉ trị của những hàm số y = sin 3x cùng y = sin x bằng nhau?

° giải mã bài 2 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

- Ta có: 

 

 

 

- Vậy với 

thì 

* bài xích 3 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

 a) 

 b) 

 c) 

 d) 

° lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

a) 

 

 

- Kết luận: PT có nghiệm

b) cos3x = cos12º

⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z

⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

- Kết luận: PT gồm nghiệm x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

c) 

 

 

 

 hoặc 

 

 hoặc 

 

 hoặc 

d) 

 

 hoặc 

 

 hoặc 

 

 hoặc 

* Bài 4 (trang 29 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Giải phương trình 

° lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

- Điều kiện: sin2x≠1

- Ta có:  

 

 

 

+ Đến phía trên ta cần đối chiếu với điều kiện:

- Xét k lẻ tức là: k = 2n + 1

 

(thỏa điều kiện)

- Xét k chẵn tức là: k = 2n

 (không thỏa ĐK)

- Kết luận: Vậy PT bao gồm họ nghiệm là 

* Bài 1 (trang 36 SGK Đại số với Giải tích 11): Giải phương trình: sin2x – sinx = 0 

° giải thuật bài 1 trang 36 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

- Ta có: sin2x – sinx = 0

 

 

 

 

 hoặc 

- Kết luận: PT tất cả tập nghiệm 

* bài bác 2 (trang 36 SGK Đại số với Giải tích 11): Giải những phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

b) 2sin2x +

.sin4x = 0

° lời giải bài 2 trang 36 SGK Đại số với Giải tích 11:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

- Đặt t = cosx, điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1, lúc ấy PT (1) trở thành: 2t2 – 3t + 1 = 0