HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN R KHI NÀO

Bài viết dưới đây để giúp ta biết cách xét tính tiếp tục của hàm số, áp dụng giải những dạng bài xích tập về hàm số tiếp tục như: Xét tính tiếp tục của hàm số ở một điểm (x=0), trên một đoạn hay 1 khoảng, tìm những điểm gián đoạn của hàm số, hay minh chứng phương trình f(x)=0 tất cả nghiệm.

I. Lý thuyết về hàm số thường xuyên (tóm tắt)

1. Hàm số liên tiếp tại 1 điểm

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 ∈ (a;b). Hàm số y = f(x) được hotline là liên tiếp tại x0 nếu:

- Hàm số f(x0) không liên tục tại điểm x0 thì x0 được gọi là điểm cách quãng của hàm số f(x).

2. Hàm số thường xuyên trên một khoảng

- Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được gọi là tiếp tục trên một khoảng tầm nếu nó liên tiếp tại các điểm của khoảng tầm đó.

- Hàm số y = f(x) được call là thường xuyên trên đoan nếu như nó tiếp tục trên khoảng tầm (a;b) và:

3. Một số trong những định lý cơ bạn dạng về hàm số liên tục

• Định lý 1:

a) Hàm số đa thức thường xuyên trên tổng thể tập số thực R.

b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của 2 nhiều thức) và các hàm số lượng giác liên tiếp trên từng khoảng chừng của tập xác định của chúng.

• Định lý 2:

- mang sử f(x) cùng g(x) là nhị hàm số tiếp tục tại điểm x0. Khi đó:

a) những hàm số f(x) + g(x); f(x) - g(x) cùng f(x).g(x) liên tiếp tại x0.

b) hàm số 

• Định lý 3:

- giả dụ hàm số y = f(x) tiếp tục trên đoạn cùng f(a)f(b) II. Những dạng bài tập về hàm số liên tục

° Dạng 1: Xét tính tiếp tục của hàm số tại điểm x0.

* Phương pháp:

- bước 1: Tính f(x0)

- cách 2: Tính hoặc

- bước 3: So sánh: hoặc với 

- Nếu 

- còn nếu không tồn tại hoặc thì tóm lại hàm số không liên tục tại x0.

- bước 4: Kết luận.

* ví dụ như 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11): Dùng tư tưởng xét tính thường xuyên của hàm số f(x)=x3 + 2x - 1 trên x0=3.

° giải thuật ví dụ 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11):

- Ta có: f(x) = x3 + 2x - 1

⇒ f(3) = 33 + 2.3 - 1 = 32

⇒ f(x) liên tiếp tại x0 = 3.

Xem thêm:

* Ví dụ 2 (Bài 2 trang 140 SGK Đại số 11): a) Xét tính thường xuyên của hàm số y = g(x) trên x0 = 2, biết:

° lời giải ví dụ 2 (Bài 2 trang 140 SGK Đại số 11):

- Ta có: g(2) = 5.

⇒ g(x) không liên tiếp tại x0 = 2.

b) Để g(x) tiếp tục tại x0 = 2 thì:

- Vậy chỉ việc thay 5 bằng 12 thì hàm số tiếp tục tại x0 = 2.

* lấy ví dụ 3: Xét tính thường xuyên của hàm số sau tại điểm x = 1.

° lời giải ví dụ 3:

- Ta có: f(1) = 1

⇒ Vậy hàm số f(x) không tiếp tục (gián đoạn) trên điểm x = 1.

* lấy một ví dụ 4: Xét tính liên tiếp của hàm số sau trên điểm x = 0.

° lời giải ví dụ 4:

- Ta có: f(0) = 02 - 2.0 + 2 = 2.

⇒ Vậy hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0.

° Dạng 2: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên một khoảng, một đoạn.

* Phương pháp:

- Áp dụng định lý 1, định lý 2 nhằm xét tính thường xuyên của hàm số trên từng khoảng xác minh của nó.

- giả dụ hàm số xác định bởi 2 hoặc 3 công thức, ta thường xuyên xét tính liên tiếp tại những điểm quan trọng của hàm số đó.

* lấy ví dụ như 1: Cho hàm số 

- Kết luận: Hàm số f(x) liên tục trên khoảng tầm (-7;+∞).

* ví dụ như 2: Tìm a, b nhằm hàm số sau liên tục: 

⇒ Để hàm số liên tiếp tại điểm x = 3 thì:

 
 (*)

• Khi x = 5 thì f(5) = 5a + b

⇒ Để hàm số tiếp tục tại điểm x = 5 thì:

 (**)

Từ (*) và (**) ta có: 

- Vậy lúc a = 1 cùng b = -2 thì hàm số f(x) liên tục trên R, khi đó:

- Hàm số g(x) tiếp tục trên các khoảng: 

° Dạng 3: Tìm điểm cách quãng của hàm số f(x)

* Phương pháp: x0 là điểm cách biệt của hàm số f(x) nếu như tại điểm x0 hàm số không liên tục. Thường thì x0 vừa lòng một trong các trường vừa lòng sau: